16.6. Ajuste por mínimos cuadrados

Hasta ahora nos hemos ocupado de la manera de obtener el mejor valor de una magnitud a partir de una o varias medidas. Un problema más general es determinar la relación funcional entre dos magnitudes x e y como resultado de experimentos.

Supongamos que por razones teóricas bien fundadas sabemos que entre x e y existe la relación lineal
y=ax+b
y deseamos determinar los parámetros a y b a partir de n medidas de x e y. a es la pendiente de la recta, es decir, la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, y b la ordenada en el origen, es decir la altura a la que corta la recta al eje de ordenadas.
Para concretar, supongamos que los valores que han resultado de un experimento son los siguientes:
x1 1 2 3 4 5 6
y1 1.5 2.5 4.0 3.6 5.9 6.1

Ante un problema de este tipo, lo primero que conviene hacer es representar gráficamente los resultados para observar si los valores medidos se aproximan a una recta o no. En la figura 3 se han representado las medidas anteriores.

Figura: Representación de los pares de valores xi, yi correspondientes al experimento.

A la vista del gráfico parece claro que las dos variables siguen una relación lineal. Es importante darse cuenta de que los seis puntos dibujados no pasan todos por la misma recta. Esto es debido a los errores de las medidas, por lo que los puntos se distribuyen de forma más o menos aleatoria en torno a esa recta. A pesar de ello es claramente visible la tendencia lineal de los puntos.

Para determinar la recta que mejor se adapta a los puntos se emplea el llamado método de los mínimos cuadrados. Para un valor de x determinado, la recta de ajuste proporciona un valor diferente de y del medido en el experimento. Esta diferencia será positiva para algunos puntos y negativa para otros, puesto que los puntos se disponen alrededor de la recta. Por este motivo, la suma de estas diferencias para todos los puntos es poco significativa (las diferencias negativas se compensan con las positivas).

Por ello, para medir la discrepancia entre la recta y los puntos, se emplea la suma de los cuadrados de las diferencias, con los que nos aseguramos de que todos los términos son positivos. Esta suma tiene la forma: